Cone

Considere uma região plana limitada por uma curva suave (sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano.

Denominamos cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em um ponto P (vértice) e a outra num ponto qualquer da região.
Elementos do cone
Em um cone, podem ser identificados vários elementos


Vértice de um cone é o ponto P, onde concorrem todos os segmentos de reta.
Base de um cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a própria curva.
Eixo do cone é quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base.
Geratriz é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base.
Altura é a distância do vértice do cone ao plano da base.
Superfície lateral de um cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base.
Superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo.
Seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contem o eixo do mesmo.
Classificação do cone
Ao observar a posição relativa do eixo em relação à base, os cones podem ser classificados como retos ou oblíquos. Um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular ao plano da base e é oblíquo quando não é um cone reto. Ao lado apresentamos um cone oblíquo.

Observação
Para efeito de aplicações, os cones mais importantes são os cones retos. Em função das bases, os cones recebem nomes especiais. Por exemplo, um cone é dito circular se a base é um círculo e é dito elíptico se a base é uma região elíptica.
Observações sobre um cone circular reto
Um cone circular reto é denominado cone de revolução por ser obtido pela rotação (revolução) de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos

A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do cone com um plano que contem o eixo do cone. Na figura ao lado, a seção meridiana é a região triangular limitada pelo triângulo isósceles VAB.
Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si. Se g é a medida da geratriz então, pelo Teorema de Pitágoras, temos uma relação notável no cone: g²=h²+r², que pode ser "vista" na figura abaixo:

A Área Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone):
A(lateral) = pi.r.g
A Área total de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone):
A(total) = pi.r.g + pi.r² = = pi.r.(g+r)
Cones Equiláteros
Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.

A área da base do cone é dada por:
A(base) = pi r²
Pelo Teorema de Pitágoras temos que (2r)²=h²+r², logo h²=4r²-r²=3r², assim:
h = r
Como o volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área da base pela altura, então:
V = (1/3) pi r3
Como a área lateral pode ser obtida por:
A(lateral) = pi.r.g = pi.r.2r = 2.pi.r²
então a área total será dada por:
A(total) = 3 pi r²

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